Быть может, положение с натуральным рядом в настоящее время имеет смысл сравнить с положением евклидовой геометрии в XVIII веке, когда она была единственной геометрической теорией, а потому считалась некой абсолютной истиной, одинаково обязательной и для математикой и для физиков. Считалось само собой понятным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться евклидовой геометрии (а чему же еще?). Подобно этому мы считаем сейчас, что пересчет как угодно больших материальных совокупностей, измерение как угодно больших расстояний в физическом пространстве и т.п. должны подчиняться существующим схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же еще?).
Разница лишь в том, что на первый вопрос в скобках дало ответ развитие науки в XIX — XX веке (неевклидова геометрия, а позже теория относительности), а на второй, как мне кажется, ответ предстоит еще дать.
Я хорошо понимаю, что те соображения на эту тему, которые меня давно занимают, ориентировочны и бездоказательны, но все же, в порядке постановки вопроса, решаюсь их высказать.
Процесс реального счета физических предметов в достаточно простых случаях доводится до конца, приводит к однозначно определенному итогу (число присутствующих в зале, например). Именно эту ситуацию берет за основу теория натурального ряда и в идеализированном виде распространяет ее “до бесконечности”. Грубо говоря, совокупности большие предполагаются в каком–то смысле столь же доступными пересчету, как и малые и со столь же однозначным итогом, хотя бы реально этот пересчет и был неосуществим. В этом смысле наше представление о натуральном ряде похоже на зрительное восприятие панорамы, скажем, панорамы какого–либо исторического сражения. На первом плане на реальной земле расположены реальные предметы: разбитые пушки, расщепленные деревья и т.п.; затем все это незаметно переходит в раскрашенный холст с точным расчетом на обман даже очень внимательного глаза.
В рамках математической теории подобная идеализация процесса счета, разумеется, вполне законна. Но ввиду единственности теории эта точка зрения автоматически навязывается и физике; однако здесь вопрос поворачивается по–другому. В самом деле, пусть мы хотим узнать, сколько молекул газа заключено в данном сосуде. Должны ли мы искать ответ в виде совершенно точно определенного целого числа? Оставим в стороне вопрос о ненужности такой “точности” для физики, не будем останавливаться и на фактической трудности задачи. Гораздо более важной для нас является ее принципиальная неосуществимость: молекулы газа взаимодействуют со стенками сосуда, испытывают различные превращения и т.п., а потому наша задача просто не имеет определенного смысла. Физик вполне удовлетворяется — в этом и в аналогичных случаях — достаточно хорошим приближенным ответом. Из этого примитивного примера можно усмотреть некоторый намек. А именно, можно думать, что математик предлагает физику не совсем то самое, что тому нужно. Духу физики более соответствовала бы математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком то смысле “размытый вид”, а не являлись строго определенными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет число — а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом? Если мы согласимся принять эти соображения хотя бы за отдаленный намек на возможность математической теории нового типа, то в ней прежде всего пришлось бы отказаться от идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц — идеи, которая буквально, конечно, не формулируется в существующей теории, но косвенно провоцируется принципом математической индукции. Вероятно, для “очень больших” чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять (возражение, что присчитывая единицы, можно “присчитать” и любое число, не котируется в силу только что сказанного выше).
Разумеется, числа этой гипотетической теории были бы объектами другой природы, чем числа натурального ряда. Можно предполагать, что почти совпадение имело бы лишь для начальных отрезков существующего и гипотетического натуральных рядов, а по мере удаления по ним различие их структуры должно возрастать; в гипотетическом натуральном ряде началось бы нечто в роде “принципиального сбивания со счета”, и он (ряд) все более “размываясь”, приобретал бы в каком–то смысле черты непрерывной структуры числовой прямой. Можно догадываться даже, что математическая индукция при этом приняла бы своеобразные черты — промежуточные между индукцией обычной и, например, интегрированием дифференциального уравнения y' = т(x,y) (здесь как бы вместо перехода n -> n + 1 мы применяем переход x -> x + dx).
Быть может, имеет смысл сделать такое замечание. В современных космологических теориях само собой подразумевается, что сколь угодно большие космическое протяженности должны описываться на основе существующих математических представлений о натуральном ряде и числовой прямой. Но так ли это очевидно? Вспомним, что еще в 1900–х годах физики обсуждали вопрос о геометрической форме электрона. Считалось вполне осмысленным предположение, что электрон по своей геометрии отличается от бильярдного шарика лишь очень малого размера. Другими словами, считалось, что наши геометрические представления полностью применимы к объектам микромира; только последующее появление и развитие квантовой механики показало абсурдность этой “очевидной” точки зрения.
Не следует ли ожидать, что в области очень больших протяженностей нас еще ждут сюрпризы, подобно встретившимся в области протяженностей очень малых (но, конечно, сюрпризы совсем другого стиля). И не исключено, что описание ситуации потребует существенно иных конструкций в самом математическом фундаменте, т.е. наших представлениях об очень больших числах.
Впрочем, возможно, что нам даже не придется углубляться в космос для проверки того, насколько очень большие материальные совокупности на самом деле подчиняются счету на основе теории натурального числа. Возможно, что какое–нибудь из следующих поколений ЭВМ достигнет столь гигантских возможностей в смысле количества производимых операций, что соответствующие эксперименты станут реальными.
Еще одно замечание в сторону. Знаменитые отрицательные результаты Геделя 30–х годов в своем фундаменте исходят из убеждения: сколько бы ни продолжать построение метаматематических формул для данной (полностью формализованной) математической теории, принципы пересчета и упорядочения формул остаются обычными, т.е. подчиненными схеме натурального ряда. Разумеется, это убеждение даже не оговаривалось, — настолько оно считалось очевидным.
Между тем построение метаматематических формул — это реальный физический процесс, производимый человеком или, как стало возможно в последнее время, машиной.
Если мы откажемся от догмата, что натуральный ряд идеально приспособлен для описания любых сколь угодно больших материальных совокупностей, то становятся сомнительными и результаты Геделя; точнее, их придется рассматривать, возможно, как утверждения, относящиеся не к реальному развитию данной формализованной математической теории, а к условному, идеализированному ее развитию, когда при пересчете формул, сколь много бы их ни было, и при описании их структуры, сколь громоздка ни была бы она, мы считаем законным применять схему натурального ряда. На это дополнительное условие, в сущности, и опирается тонкая игра Геделя с двойным, математическим и метаматематическим, толкованием некоторых сконструированных им соотношений. Не успокаивает и финитность конструкций Геделя: при полной расшифровке сокращений (что в данном контексте является принципиальным) его конструкции становятся чрезвычайно сложными, явно не выписываются, и сомнения, высказанные раньше насчет поведения “очень больших” совокупностей, напрашиваются и здесь,
Наша гипотетическая реформа числового ряда должна, конечно, сопровождаться соответствующей реформой и числовой прямой; как уже упоминалось, реформированный натуральный ряд в своих удаленных областях как бы станет походить на (реформированную) числовую прямую. И эта “реформированная” числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов: сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но если при удалении по натуральному ряду возникает возрастающая размытость его элементов, она передается и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успеет “устремиться к бесконечности”.
Если здесь снова вспомнить о физике, то нам придется как бы повторить сказанное ранее, но под другим углом зрения. Вещественное число имеет в физике смысл результата измерения. Разумеется, любое измерение производится лишь с какой–то степенью точности, и та “идеальная точность”, которую предлагает математика в понятии вещественного числа, физику не требуется. Однако до сих пор не существует иного способа создания физических теорий с математическим аппаратом. Что это: неизбежное, роковое обстоятельство или “просто” результат несуществования математической теории, о которой здесь идет речь и в которой идея “приближенности” будет заложена органически; в которой “точное” будет в то же время означать в каком–то смысле “оптимально приближенное”.
Если бы такая теория стала реальностью, то можно было бы думать о новой трактовке дуализма волна–частица в квантовой механике и даже мечтать об автоматическом исчезновении расходимостей релятивистской квантовой механики, после того как точки пространства–времени утратят свою резкую определенность и приобретут чуть–чуть размытый вид.
Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда–нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких–то “параметров” (по своей роли отдаленно напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.
Построение подобной теории (если вообще верить в его возможность) будет очень трудным, но не совсем в том смысле, как бывают трудны математические проблемы типа: доказать или опровергнуть данное утверждение. Видимо, сама ее логическая структура должна сильно отклоняться от общепринятых схем. Для примера: в обычной математической теории считается, что любой объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется, и тем более, не исчезает. Так, сопоставляя числам a, b их сумму a + b, мы в то же время сохраняем в своем распоряжении и прежние числа. Заметим, что этот принцип, общепринятый в математике, несколько парадоксален с точки зрения материальных прообразов математических операций. Так, “сложив” два мешка зерна путем ссыпания их в третий мешок, мы получим “сумму”, но безвозвратно теряем “слагаемые”. Восстановить же их мы можем лишь приближенно. Возможно, и в нашей гипотетической теории придется принять, что участие объекта в конструировании другого объекта некоторым образом влияет на первый объект, вызывая в нем какие–то изменения. Это не нужно, конечно, понимать как определенное предложение; я хочу лишь пояснить, какого рода могло бы быть серьезное отклонение логической структуры от обычной.
Возможен и другой вариант сказанного. Обычную точку зрения можно трактовать так: любой объект существует в неограниченном количестве абсолютно одинаковых копий, и когда одна из них ”истрачена” на конструкцию другого объекта, остается сколько угодно других. Возможно, в нашей гипотетической теории придется отказаться от абсолютной одинаковости “копий” и принять, что они “изготовляются” в пределах некоторых “допусков”. Кстати, это хорошо соответствует идее “размытости” объектов теории, о чем говорилось ранее.
Заканчивая эту заметку, я понимая, конечно, что ничего не доказал, да и не пытался что–либо доказать. Я хотел только привлечь внимание к проблематике, которую смог обрисовать — это также нужно признать — лишь весьма туманно. Но обрисовать ее более ясно — это уже означало бы продвинуться и в ее решении.
Мне неизвестны какие–либо печатные материалы по затронутой теме, но в устной передаче я слышал, что о ней думали; по–видимому, в чем–то родственные соображения относительно натурального ряда высказывал в свое время Н.Н.Лузин.
Примечания
* “Успехи математических наук”, Т. XXVIII, Вып. 4(172), С.243–246, 1973.
** Я позволю себе игнорировать те “варианты” формализованной теории целого числа, возможность которых вытекает из принципиальной неполноты ее аксиоматики; достаточно того, что они не имеют значения для реально работающих отраслей математики.
П.К.Рашевский